Mathematik 1 für Bauingenieurwesen Vorlesung und Übungen TU

höhere mathematik aufgaben lösungen

Teil des Dokuments

Mathematik 1 für Bauingenieurwesen
Vorlesung und Übungen
TU Wien
Wintersemester 2018/19
Reinhard Winkler,
mit zahlreichen Übungsaufgaben von
Gabriel Maresch
25. September 2018
Sehr geehrte Hörerinnen und Hörer!
Das vorliegende Skriptum dient als wichtigstes Begleitmaterial zu Vorlesung und
Übung "Mathematik 1 für Bauingenieurwesen" an der TU Wien im Wintersemester
2018/19. Gegenüber der letzten Version vom Wintersemester 2016/17 wurden zahlrei-
che kleinere Fehler korrigiert und ein paar geringfügige Umstellungen vorgenommen,
um den gedanklichen Aufbau der Vorlesung zu verbessern. Als systematische Ergänzung
wurde nicht nur jedes der fünf Kapitel (oberste Gliederungsebene) und jeder Abschnitt
(zweite Gliederungsebene), sondern auch jeder Unterabschnitt (dritte Gliederungsebene)
jeweils zu Beginn mit einer kurzen Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte ("Inhalt
in Kurzfassung") versehen.
Neben den präzisen Formulierungen der mathematischen Inhalte (Definitionen, Sät-
ze etc.) sind auch ausführliche Erklärungen der wichtigsten Ideen enthalten. Wenn Sie
hin und wieder verhindert sind, die Vorlesung zu besuchen, sollte es mit Hilfe des vor-
liegenden Skriptums also problemlos möglich sein, Versäumtes nachzulernen. Trotzdem
ist ein möglichst regelmäßiger Besuch der Vorlesung unbedingt zu empfehlen. Denn im
mündlichen Vortrag an der Tafel lassen sich Gewichtungen, Intuitionen und zahlreiche
andere wichtige Aspekte mathematischer Inhalte wesentlich besser vermitteln als mit
bedrucktem Papier. Wann immer sinnvoll, gibt es in der Vorlesung auch Hinweise, in
welcher Form die Inhalte geprüft werden.
Als begleitende Pflichtlehrveranstaltung zur Vorlesung gibt es auch Übungen, die über-
wiegend mit Aufgabenmaterial aus dem Skriptum bestritten werden. Einen beträchtli-
chen Teil davon hat mein Kollege Gabriel Maresch beigesteuert. Aus Zeitgründen, aber
nicht ausschließlich deshalb, kann nur ein relativ kleiner Teil der mehr als 300 Übungs-
aufgaben in der Lehrveranstaltung "Übung" behandelt werden. Dennoch empfehle ich,
sich in einem gewissen Umfang auch mit den dort nicht behandelten Aufgaben zu be-
schäftigen. Dazu sind einige Erläuterungen am Platz.
Als Orientierungshilfe für den Umgang mit den Aufgaben haben wir eine Zuordnung
zu drei Kategorien T (Test), P (Prüfung) und E (Ergänzung) vorgenommen. Für die
Vorbereitung auf die beiden Übungstests empfehlen wir vor allem die Beschäftigung mit
den T-, für die Prüfung darüber hinaus mit den P-Aufgaben. Von den E-Aufgaben sind
einige etwas anspruchsvoller. Lassen Sie sich nicht entmutigen, wenn Sie manche davon
nicht lösen können. Wenn Sie sich aber bei jeder E-Aufgabe wenigstens klar machen,
worin die Aufgabenstellung besteht, so wird das Ihr Verständnis ganz wesentlich vertiefen
und daher eine sehr sinnvolle Vorbereitung auf die Prüfung sein.
Abgesehen vom vorliegenden Skriptum werde ich auf elektronischem Wege auch eine
Sammlung von Anwendungen des Stoffes aus Mathematik im Bauingenieurwesen ausge-
ben, die Kolleginnen und Kollegen aus Ihrer Fakultät zur Verfügung gestellt haben. Für
das meiste daraus wird Stoff aus Mathematik 2 oder gar aus Mathematik 3 erforderlich
sein. Prüfungsstoff zu den Mathematik-Lehrveranstaltungen sind diese Anwendungsbei-
spiele nicht, sondern Motivation, damit Sie frühzeitig sehen, wie Mathematik in Ihrem
eigentlichen Fach wirksam wird und warum sie deshalb als Grundlage unverzichtbar ist.
Ergänzend noch einige Bemerkungen zur Vorbereitung auf die Prüfung: Im Skriptum
sind auch die meisten Beweise enthalten. Für Anwender in den Ingenieurswissenschaften
2
kommt es nicht darauf an, dass man all diese Beweise aktiv beherrscht. Um bei Anwen-
dungen zu den richtigen Methoden greifen zu können, ist es aber trotzdem von großem
Wert, die wichtigsten Ideen wenigstens in einem intuitiven Sinn erfasst zu haben. Sehr
zielführend dabei ist es, beim Lernen sehr wohl auch die Beweise zu studieren, wenn auch
nicht unbedingt mit dem Anspruch, sie frei reproduzieren zu können. Deshalb kommen
längere Beweise bei mir nicht als Prüfungsaufgaben. Einfache Schlussweisen, wie sie als
Teile von Beweisen häufig vorkommen, sollten Ihnen aber geläufig sein. Als erfolgver-
sprechende Strategie beim Lernen empfehle ich deshalb, sich zu bemühen, wenigstens
lesend möglichst den gesamten Stoff aus den Unterlagen zu verstehen. "Möglichst" heißt
dabei, dass Sie sich an einzelnen unklaren Stellen nicht zu lange aufhalten sollen, sondern
zunächst weitergehen dürfen. Vielleicht klärt sich vieles beim nächsten Durchlesen. Erst
wenn für Sie zu viele Beweise unklar bleiben, stellt sich die Frage, ob Sie für die Prüfung
schon hinreichend gut vorbereitet sind. Einige weitere Hinweise zur Prüfung wie auch
Prüfungsangaben aus den vergangenen Jahren finden Sie unter
http://dmg.tuwien.ac.at/winkler/pruefungen/
auf meiner homepage.
Bitte stellen Sie sich darauf ein, dass ein universitäres Ingenieursstudium einer Voll-
zeitbeschäftigung entspricht und beträchtliche Anforderungen stellt, sowohl intellektuell
als auch an Ihre Ausdauer. Genies, die so eine Aufgabe nebenbei bewältigen, sind äu-
ßerst selten. Auch die Mathematik als Grundlagenfach im ersten Studienjahr erfordert
einen großen Arbeitsaufwand - weit mehr als Sie vermutlich in der Schule für dieses
Fach leisten mussten. Nehmen Sie es also bitte nicht auf die leichte Schulter. Dafür ist es
eine umso größere Genugtuung, die Herausforderungen eines anspruchsvollen Studiums
zu meistern. Es ist meine Aufgabe als Vortragender in der Vorlesung, mein Bestes zu
geben, um Ihnen bei der Aneignung des umfangreichen Stoffes behilflich zu sein und Sie
dazu zu motivieren, gleichfalls Ihr Bestes zu geben. Mit den besten Vorsätzen dazu wün-
sche ich Ihnen viel Erfolg in den Mathematiklehrveranstaltungen und in Ihrem gesamten
Studium.
Reinhard Winkler, im September 2018
3

Inhaltsverzeichnis
1 Vorbemerkungen und Grundbegriffe 9
1.1 Einordnung der Mathematik in Studium und Welt . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.1 Ingenieurswissenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.2 Naturwissenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.3 Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1.4 Philosophie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2 Die Sprache der Mathematik: Logik und Mengen . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.1 Mathematische Sprache und zweiwertige Logik . . . . . . . . . . .
12
1.2.2 Junktoren und Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.3 Mengen und mengentheoretische Operationen . . . . . . . . . . . .
22
1.2.4 Kartesische Produkte und Relationen . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.2.5 Der Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.3 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.3.1 Die ZahlenmengenN?Z?Q?R?Cim Überblick . . . . . . .31
1.3.2 Veranschaulichung vonRals Zahlengerade . . . . . . . . . . . . . .33
1.3.3 Axiomatik am Beispiel vonR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
1.3.4 Die Supremumseigenschaft als Konsequenz der Vollständigkeit . .
37
1.3.5 Die archimedische Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.3.6 Betrag, Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
1.3.7 Das Induktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.3.8 Anwendung des Induktionsprinzips: Rekursionen und Induktions-
beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.3.9 Teilbarkeit und Primfaktorzerlegung inNundZ. . . . . . . . . .46
1.3.10 Zahlendarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1.3.11 Die komplexe Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1.4 Elementare Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
1.4.1 Einfachste Anzahlformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
1.4.2 Anzahlen von Funktionen und Permutationen; Faktorielle . . . . .
60
1.4.3 Teilmengen, Kombinationen und Binomialkoeffizienten . . . . . . .
61
1.4.4 Binomischer und polynomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . .
62
1.5 Vektoren imn-dimensionalen RaumRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
1.5.1 Koordinatisierung und Vektorraumoperationen . . . . . . . . . . .
64
1.5.2 Eigenschaften der Vektorraumoperationen . . . . . . . . . . . . . .
66
1.5.3 Die kanonische Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
1.5.4 Linearität am Beispiel der Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1.5.5 Inneres (Skalar-) Produkt und Längenmessung . . . . . . . . . . .
70
5
Inhaltsverzeichnis
1.5.6 Zwei wichtige Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
1.5.7 Das äußere (Vektor-) Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
1.5.8 Teilmengen vonRnin Koordinaten- und Vektorschreibweise . . . .76
1.5.9 Offene und abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2 Folgen und Reihen 83
2.1 Reelle Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.1.1 Einfache Eigenschaften und Beispiele reeller Folgen . . . . . . . . .
83
2.1.2 Rekursive Folgen und Iterationsfolgen . . . . . . . . . . . . . . . .
85
2.1.3 Der Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2.1.4 Obere und untere Limiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2.1.5 Konvergenzregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2.1.6 Einige Beispiele konvergenter Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
2.1.7 Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
2.1.8 Konsequenzen der Vollständigkeit vonRfür Folgenkonvergenz . .97
2.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
2.2.1 Der Wert einer unendlichen Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
2.2.2 Einige wichtige Beispiele konvergenter und divergenter Reihen . .
103
2.2.3 Wurzel- und Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
2.2.4 Besonderheiten absolut konvergenter Reihen . . . . . . . . . . . . .
106
2.2.5 Alternierende Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
3 Stetige Funktionen 111
3.1 Reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
3.1.1 Graphische Darstellung und einfache Eigenschaften . . . . . . . . .
111
3.1.2 Grenzwert von Funktionen und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . .
115
3.1.3 Vererbungseigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . .
117
3.1.4 Beispiele zu Stetigkeit und Unstetigkeit . . . . . . . . . . . . . . .
117
3.1.5 Konsequenzen der Vollständigkeit vonRfür stetige Funktionen . .120
3.1.6 Fixpunktiteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
3.1.7 Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . .
124
3.2 Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
3.2.1 Definition, Auswertung, Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . .
127
3.2.2 Grad, Nullstellen und Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . .
129
3.2.3 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
3.2.4 Nullstellenbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
3.2.5 Approximation und Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
3.2.6 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
3.3 Weitere wichtige Beispiele stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
139
3.3.1 Wurzeln und Potenzen mit rationalem Exponenten . . . . . . . . .
139
3.3.2 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
3.3.3 Logarithmus und Potenzen mit beliebigem reellen Exponenten . .
142
3.3.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
6
Inhaltsverzeichnis
4 Differentialrechnung 147
4.1 Die Ableitung einer reellen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
4.1.1 Motivation: Tangente, Momentangeschwindigkeit . . . . . . . . . .
147
4.1.2 Differentialquotient und lineare Approximation . . . . . . . . . . .
148
4.1.3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
4.1.4 Monotonie und erste Ableitung, Anfang . . . . . . . . . . . . . . .
156
4.1.5 Die Ableitung von Umkehrfunktionen, insbesondere von Wurzeln .
157
4.2 Taylorapproximation und Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
4.2.1 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
4.2.2 Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen . . . . . . . . .
160
4.2.3 Der Satz von Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
4.2.4 Die Exponentialreihe und die Eulersche Zahle. . . . . . . . . . .164
4.2.5 Verallgemeinerung: Potenzreihen und ihr Konvergenzbereich inC.167
4.2.6 Wichtige Eigenschaften von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . .
168
4.2.7 Die Regel von de l"Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
4.3 Weitere wichtige Beispiele differenzierbarer Funktionen . . . . . . . . . . .
171
4.3.1 Logarithmus, Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
4.3.2 Allgemeine Potenzen und binomische Reihe . . . . . . . . . . . . .
173
4.3.3 Die Differenzierbarkeit der trigonometrischen Funktionen . . . . .
174
4.3.4 Die Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
4.3.5 Die Hyperbel- und Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
4.4 Anwendungen der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
4.4.1 Monotonie und erste Ableitung, Fortsetzung . . . . . . . . . . . . .
181
4.4.2 Konvexität, Krümmung und zweite Ableitung . . . . . . . . . . . .
183
4.4.3 Extremwertbestimmung und höhere Ableitungen . . . . . . . . . .
185
4.4.4 Fixpunktiteration, Dynamik und Chaos . . . . . . . . . . . . . . .
187
4.4.5 Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
5 Integralrechnung 193
5.1 Das Riemannintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
5.1.1 Ober- und Untersummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
5.1.2 Riemannsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
5.1.3 Einfache Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
5.1.4 Das Riemannintegral stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
200
5.2 Der Hauptsatz und seine Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
5.2.1 Zwei Versionen des Hauptsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202
5.2.2 Stammfunktionen und ihre Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . .
203
5.2.3 Die Berechnung von Integralen mittels Stammfunktionen . . . . .
204
5.2.4 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
205
5.2.5 Beispiele zur Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
5.3 Das Integral bezüglich eines Maßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210
5.3.1 Der Begriff des Maßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
5.3.2 Vertiefende Bemerkungen zum Lebesgueschen Maß . . . . . . . . .
213
5.3.3 Neuinterpretation des Riemannintegrals als Lebesgueintegral . . .
216
7
Inhaltsverzeichnis
5.3.4 Einige Sätze aus der Lebesgueschen Theorie . . . . . . . . . . . . .
220
5.4 Einige Anwendungen und ausgewählte Themen . . . . . . . . . . . . . . .
222
5.4.1 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
5.4.2 Unendliche Reihen und Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
5.4.3 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
5.4.4 Kurven und ihre Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228